El Principio de Bernoulli se utiliza universalmente para introducir a los estudiantes en explicaciones confusas, simplificadas y a veces incluso falsas. Es un maravilloso ejemplo de la importancia de los detalles en ciencia.
El debate alcanza su punto álgido cuando se aplica a la explicación de la sustentación del ala de un avión, donde cada cual defiende la suya como si fuese la definitiva y rigurosa, cuando absolutamente todas ellas son simplificaciones para intentar hacer parecer comprensible aquello que sólo lo sería pasando por todos y cada uno de los detalles.
En esta entrada intentaré pasar por todos esos detalles (aunque de manera también simplificada) para mostrar dos cosas al lector:
1. Que las aplicaciones del principio de Bernoulli en muchas situaciones no se hacen correctamente, incluida en la sustentación del ala de un avión.
2. La razón que me llevará a seguir utilizando dicha simplificación para introducir a mis estudiantes en la dinámica de fluidos.
El Principio de Bernoulli suele formularse como el hecho de que, en un fluido en movimiento, la presión disminuye al aumentar su velocidad. Veamoslo con un sistema muy utilizado que, curiosamente, suele denominarse tubo de Venturi. Se trata de un tubo con un estrechamiento.
En el estrechamiento aumenta la velocidad del fluido y disminuye su presión. La idea está representada con el aumento de tamaño de burbujas de aire disueltas en el fluido. Vemos en la figura además las trayectorias de estas burbujas, que marcan lo que se conoce como líneas de flujo o corriente.
La causalidad parece darse en el siguiente orden: La continuidad del flujo obliga a que el caudal sea idéntico en todas las partes del tubo y por tanto debe cumplirse que
Se produce por tanto un aumento de velocidad en el estrechamiento.
La conservación de la energía del fluido implica la disminución de la presión con el aumento de velocidad. Si despreciamos los cambios de altura, la ecuación de Bernoulli suele expresarse como
¡Aumento de velocidad implica disminución de la presión!
Por supuesto nos estamos refiriendo a la presión interna del fluido P, conocida habitualmente como presión estática ―la que mediremos con un manómetro situado paralelamente a la corriente—.
Todos sabemos que, cuando un fluido se ve obligado a disminuir su velocidad debido a la presencia de un obstáculo, puede ejercer una enorme presión, resultante del cambio de momento experimentado. Es lo que se conoce como presión dinámica 1/2 ρ v², básicamente la energía cinética del fluido por unidad de volumen.
La mejor demostración de la diferencia de estos dos tipos de presión es un tubo de Pitot, dispositivo utilizado para medir la velocidad de un avión a partir de la diferencia de presiones.
Mientras que el tubo de cara a la corriente mide la suma de las presiones estática y dinámica, los tubos con agujeros exteriores miden sólo la presión estática. De la diferencia de presiones, puede deducirse entonces la velocidad del fluido.
La pregunta ahora es de dónde procede exactamente la ecuación de Bernoulli. Sería interesante trazar el rastro hasta las mismísimas ecuaciones de la dinámica. Fue el matemático Leonhard Euler el pionero en aplicar las leyes de Newton a la dinámica de fluidos.
La conservación de la energía nos dice que el trabajo realizado por la fuerza aplicada sobre el fluido debe ser igual al cambio de energía mecánica (ver sin embargo Bauman & Schwaneberg 1994). Esto cambia la causalidad intuitiva de que, en un tubo de Venturi, es el aumento de velocidad la causa de la disminución de presión. La causalidad ahora parece más adecuada a partir de la fuerza que obliga al fluido a cambiar de velocidad. O dicho de otro modo, primero es la diferencia de presiones y luego el cambio de velocidad.
Veamos cómo podemos deducir la ecuación de Bernoulli a partir de las leyes de la dinámica. Para ello asumamos un elemento de volumen de fluido de densidad ρ moviéndose en una trayectoria general a lo largo de una línea de corriente.
La masa del elemento de volumen de fluido será
La segunda ley de Newton puede expresarse como
Sustituyendo la expresión para la masa de fluido
Simplificando
Integrando apropiadamente
De donde obtenemos la ecuación de Bernoulli
Así, parece quedar claro que el el campo de presiones (la fuerza) es la causa del cambio de velocidades. También debería quedar claro que la ecuación de Bernoulli se aplica en una misma línea de corriente. Veamos un ejemplo de la aplicación laxa de esta condición y cómo lleva al primer malentendido común: mayor velocidad no siempre se relaciona con menor presión estática.
Supongamos un chorro de fluido a elevada velocidad dentro de un medio en reposo, tal y como el chorro de una manguera o un secador expulsando aire.
Las posiciones A y B están a la misma presión estática, de hecho a la presión atmosférica. Si no fuese así, las líneas de corriente se curvarían por el gradiente de presiones. Sin embargo, el fluido se está moviendo en la posición A y permanece estático en B. Vemos de esa manera tan sencilla que no podemos aplicar el principio mayor velocidad/menor presión, consecuencia de la ecuación de Bernoulli, a los puntos A y B, al no encontrarse en una misma línea de corriente.
La pregunta que se estará haciendo el lector es, ¿y qué ocurre con el resultado del famoso experimento de la pelota suspendida sobre un chorro de aire, típica de los museos de ciencia? Veamos lo que ocurre con la líneas de corriente en dicho caso
Vemos que las línea se curvan, algo que suele atribuirse a la viscosidad del fluido, una nueva cantidad que no forma parte de la ecuación de Bernoulli, aunque se pueda generalizar, para determinadas geometrías.
Esa tendencia de las líneas de corriente a "seguir" la forma del objeto es lo que se suele denominar efecto Coandă. La curvatura de las líneas de corriente implican un gradiente de presiones que, lógicamente, provoca que la presión disminuya hacia la pelota para que, de esta manera, sea coherente con su estabilidad frente a pequeños desplazamientos horizontales.
Veamos si podemos deducir este gradiente de presiones a partir de las leyes de la dinámica.
Ahora podemos expresar la fuerza centrípeta en la dirección r como
Sustituyendo de nuevo la masa como
Y simplificando
Como ejemplo sencillo fácilmente integrable, consideremos un cilindro con agua girando con velocidad angular 𝜔
Tendremos, en este caso
E integrando
Se trata de un experimento muy visual donde el incremento de la presión a medida que nos alejamos del eje de giro queda perfectamente medida por la altura del agua.
Igualando la diferencia de presiones con la presión hidrostática, tendremos
O dicho de otra manera, podremos observar la superficie del agua trazando una parábola con vértice en el eje de giro.
Deducimos de esta manera que el gradiente de presión aumenta con el radio de curvatura de las líneas de corriente, aumentando la presión a medida que nos alejamos de la pelota suspendida en el chorro de aire. Pero este fenómeno no es consecuencia de la ecuación de Bernoulli que, recordemos, se aplica sólo a lo largo de una línea de corriente.
La primera demostración que uno hace en clase como ejemplo aparentemente trivial del principio de Bernoulli es soplar sobre una hoja de papel. En la imagen la explicación clásica.
La explicación puede valer para quedarnos intelectualmente satisfechos, pero el Principio de Bernoulli no es la explicación coherente en este caso. Veamos una explicación más acorde con el gradiente de presiones provocado por la tendencia del aire a seguir la superficie de un objeto.
Observamos así que la presión por debajo de la hoja tiene que ser mayor que la atmosférica, mientras por encima tiene que ser menor.
Por supuesto, el lector tiene que quedarse con el hecho importante de que hemos asumido el efecto Coandă, por lo que en realidad no hemos explicado todo desde primeros principios. Digamos que la única manera de resolver completamente el problema sería utilizar las ecuaciones de Navier-Stokes, con las aproximaciones pertinentes, con lo que tampoco seríamos capaces de hacernos una imagen mental de los agentes causales, pero por lo menos estaríamos seguros de que el comportamiento del fluido se calcula correctamente a partir de los principio de la dinámica. ¡Calla y calcula!
Y eso que todavía no hemos siquiera introducido la turbulencia.
En otro ejemplo clásico de aplicación del Principio de Bernoulli, imaginemos ahora una brisa uniforme soplando sobre una colina de contorno suave, de tal manera que el flujo de aire se comporte como laminar.
Según hemos visto, la curvatura de las líneas de corriente se va haciendo más suave (mayor radio de curvatura) a medida que nos desplazamos en la dirección de B, lo que implica un gradiente de presiones que disminuye hacia lo alto de la colina. La curvatura de las líneas de corriente está invertida en las direcciones A y C por lo que la presión tiene que aumentar desde la presión atmosférica alejándonos en las direcciones A y C hasta la presión cercana a la superficie de la colina.
Sin embargo, basta que las superficies tengan bordes menos suaves para que se produzcan vórtices y el fluido entre en régimen turbulento.
En el caso de un tejado sometido a una fuerte viento, una imagen más apropiada que la presentada habitualmente en los libros de texto podría ser la de la derecha
Donde, a diferencia de en el caso de la colina suave, la baja presión se prolonga a partir del pico del tejado, reforzando la tensión sobre la superficie posterior y provocando una fuerza resultante responsable de la rotura de algunos tejados con vientos huracanados.
Esto no introduce de lleno en la eterno debate sobre la razón de la sustentación que producen las alas de un avión.
La explicación básica de nuevo suele ir de la siguiente guisa —al menos cuando se utiliza "correctamente"—:
El quid de la cuestión está en entender el origen del campo de velocidades y presiones del fluido alrededor del ala y quién es causa y quién efecto.
Por supuesto, sólo existe una explicación definitiva: soluciónense las ecuaciones de Navier-Stokes (en concreto las promediadas en Reynolds) para el perfil de ala. En ese sentido, la sustentación de una ala no tienen ningún misterio para la física y la ingeniería desde hace mucho años. La prueba de ello es que uno puede descargarse una aplicación móvil donde se simulan objetos en fluidos a partir de la resolución de estas ecuaciones.
La segunda ley de movimiento de Newton aplicada a un elemento fluido sin viscosidad conduce a las ecuaciones de Euler, un sistema de tres ecuaciones (una para cada dirección) no lineales en derivadas parciales de primer orden. Las variables dependientes en estas ecuaciones son las componentes de velocidad en las tres direcciones espaciales , la densidad y la presión del fluido. Para determinar estas cinco variables, necesitamos además dos ecuaciones más en forma de conservación de la masa y conservación de energía.
Si incluimos la viscosidad, tenemos las ecuaciones de Navier-Stokes. Pero las de Euler son mucho más manejables, así que un primer paso para simplificar lo casi inmanejable es intentar eliminar la viscosidad pero retener de alguna manera el efecto Coandă, es decir, la tendencia de las líneas de corriente a seguir el contorno de superficies suaves.
La simplificación más sencilla que cumple con estos requisitos y cuantifica las presiones alrededor del ala, resultando capaz de calcular cuantitativamente la sustentación, se conoce como teoría de perfil aerodinámico delgado. El efecto Coandă se recupera con una condición de contorno conocida como condición de Kutta, donde básicamente se obliga a las líneas de corriente a continuar suavemente a partir del borde de salida. Esto descarta las soluciones de la ecuaciones de Euler que no se corresponden con la situación estacionaria con sustentación
Esta teoría puede implementarse numéricamente para entender la circulación del fluido y su campo de velocidades y presiones alrededor del perfil de ala. El applet java de libre uso FoilSim, disponible en la página de aeronaútica de NASA, nos permite hacer todo tipo de experimentos al respecto.
Ya dedicamos una entrada en este blog a la utilización de este applet para desmontar la teoría del encuentro simultáneo de las masas de aire en el borde de salida y el comportamiento de un perfil simétrico con y sin ángulo de ataque.
Analicemos otra explicación común: la aplicación del tercer principio para entender la fuerza de sustentación como reacción al cambio de velocidad y dirección del aire que abandona el borde de salida con respecto al que entra por el borde de ataque.
Veamos la derivación de Newton de la deflección por una superficie inclinada de un fluido formado por partículas
El cambio de momento del fluido en la dirección vertical al chocar contra la superficie A será
Con el elemento de masa del fluido dm que puede expresarse como
cuya variación con respecto al tiempo será
La fuerza de reacción no será más que la variación del momento por unidad de tiempo
Vemos que este cálculo simple predice una fuerza de sustentación dependiente del cuadrado del ángulo de ataque. A diferencia de lo que muestra el resultado experimental, donde para pequeños ángulos (< ~10º) la relación es muy aproximadamente lineal.
De hecho, en ese régimen lineal, la teoría de perfil aerodinámico delgado no lo hace especialmente mal, con la siguiente predicción para la fuerza de sustentación (L)
Donde CL es el coeficiente de sustentación, dado por
y c/l es la proporción entre la cuerda y la envergadura del ala, lo que respalda la conveniencia de alas delgadas de gran envergadura.
En el simulador podemos ver representada esta relación entre la sustentación y el ángulo de ataque.
Existen, sin embargo, cierta argumentación (Waltham 1998, Auerbach 2000) que permite entender la sustentación como reacción al cambio de momento del fluido provocado por el ala hacia el suelo, en realidad una aplicación consistente de la segunda y tercera ley. La base es la utilización de la circulación del fluido alrededor del perfil. Pero la superficie seleccionada para calcular la circulación es fundamentalmente arbitraria, con lo que no ha sido una explicación especialmente popular (ver McLean 2018)
La teoría de perfil aerodinámico delgado se aplican por supuesto a un fluido incompresible, sin viscosidad e irrotacional. Pero en dichas condiciones, no puede existir sustentación. La condición de Kutta --que "la naturaleza" implementa gracias a la viscosidad del fluido-- introduce una circulación alrededor del perfil de ala que induce la sustentación. Se busca con ello de una solución estacionaria con sustentación, pero la manera de llegar hasta ahí es más complicada.
Cuando el fluido se mueve a baja velocidad (bajo número de Reynolds) tenemos una solución con un punto de estancamiento (velocidad nula del fluido) en el extradós tal y como se ve en (a) de la siguiente figura.
A medida que aumenta la velocidad, el aire no puede mantener el cambio de dirección tan pronunciado y se forma un vórtice inicial que tiende a separarse del perfil del ala. En las simulaciones numéricas utilizando las ecuaciones de Navier-Stokes, podemos ver esa generación del vórtice inicial
El vórtice introduce una circulación antihoraria, por lo que el teorema de conservación de la circulación (junto a los teoremas de Helmholtz) implica la creación de una nueva circulación horaria ligada al perfil de ala.
El teorema de Teorema de Kutta-Yukovski nos garantiza que la circulación de un fluido alrededor de un objeto produce sustentación. Para entenderlo de manera algo informal, fijémonos en la rotación de un objeto en un fluido, típicamente un cilindro.
La curvatura de las líneas de corriente ya indica la dirección del gradiente de presiones y por tanto de la dirección y sentido de la fuerza de sustentación (elevación)
Asumamos que el cilindro tiene una rotación lenta, de tal forma que si nos limitamos a una línea de corriente por arriba cercana a la superficie del cilindro, tendrá una velocidad v∞+vr. De la misma manera, una línea de corriente por abajo tendrá una velocidad v∞-vr. Podemos aplicar la ecuación de Bernoulli a una línea de corriente que pasa por la parte superior y a otra que pasa por la línea inferior. Como la velocidad y la presión cuando nos alejamos del cilindro tienden al mismo valor v∞ y P∞ respectivamente ,tenemos
Lo que además nos justifica el hecho de poder ¡aplicar el Principio de Bernoulli a las líneas de corriente por el extradós e intradós y relacionar las presiones estáticas respectivas!. Reordenando términos
La fuerza de sustentación será
donde consideramos que la sustentación actúa sobre la mitad de la superficie del cilindro de radio r y longitud L
La cantidad en el segundo paréntesis final es lo que se conoce como circulación 𝛤, definida de manera general como
Por tanto, podemos expresar la sustentanción (L) por unidad de longitud como
resultado que generaliza el teorema de Kutta–Joukowski.
La teoría del perfil de ala delgado procede de hacer una transformación conforme de la circulación del fluido en un cilindro a la circulación en un perfil de ala con una determinada cuerda y combadura ajustando el valor de la circulación para que cumpla la condición de Kutta.
Como pueden ver, las cosas se complican hasta llegar al nivel de "calla y calcula" o mejor "calla y programa un modelo numérico". Así, que cuando tenga que explicar de nuevo el principio de Bernoulli a mis estudiantes de bachillerato, emplearé el método clásico, de tal manera que cuando lleguemos a la sustentación, el diálogo podrá establecerse de la siguiente guisa:
¿Por qué un ala consigue sustentación?
Explicación Bernoulli (justificada aunque no se refiera a una misma línea de corriente): porque el aire se mueve más rápido por el extradós que por el intradós y por tanto se establece una diferencia de presiones.
¿Pero por qué el aire se mueve más rápido por el extradós?
Porque tiende a seguir la superficie del ala y se establece así un gradiente de presiones que tiende a disminuir hacia la superficie del extradós empujando al aire y aumentando su velocidad.
[Como se ve existe, la causalidad se puede utilizar en ambas direcciones: el movimiento del fluido crea un campo de presiones que establece el campo de velocidades... (ver McLean, D. (2018))]
¿Y por qué tiende a pegarse a la superficie del ala?
Explicamos cómo se produce el efecto Coandă (ver vídeo en el texto).
[Tenga en cuenta el lector que el efecto Coandă puede ser explicado sin necesidad de recurrir a la viscosidad del aire, aunque por supuesto, en última instancia, es consecuencia de ésta]
La moraleja de todo esto es que la eterna polémica sobre el uso apropiado del principio de Bernoulli, el efecto Coandă, el tercer principio de la dinámica para explicar por qué vuela un avión es un debate de sordos. Podemos utilizar la explicación más conveniente para rebajar el nivel técnico y que el oyente lo entienda al nivel apropiado a sus conocimientos, que es lo que hacemos todo el tiempo al explicar física. Siempre existirá un nivel de explicación más formal y más abstracto hasta alcanzar en última instancia el ¡calla y calcula!
Referencias
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McLean, D. (2018). Aerodynamic Lift, Part 2: A Comprehensive Physical Explanation.
The Physics Teacher, 56(8), 521–524. doi:10.1119/1.5064559
Navinder Singh, K. Sasikumar Raja, P. Janardhan 2018 Clearing certain misconception in the common explanations of the aerodynamic lift preprint
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Weltner, Klaus 2011 Misinterpretations of Bernoulli's Law University of Frankfurt
Frank M. White 2016 Fluid Mechanics. McGraw-Hill. 8th edition.
